例1:已知{an}前五项之和为105，{an}之和为0=2a5。

(1)求必维体育电竞{an}的通式；

(2)对于任意mN*，将必维体育电竞{an}中不大于72m的项目数记录为bm。找到必维体育电子竞技{bm}的前m项和Sm。

突破点(1)从已知中列出关于第一项和容差的方程，求解碧威体育电竞和D，从而找到一个。

(2)计算bm，然后根据其特点选择求和方法。

(1)设碧威体育电竞{an}的容忍度为d，前n项之和为t n。

T5=105，碧威体育E-sports 0=2A5，

获得5个必维体育电竞5 (5-1) 2d=105，必维体育电竞9d=2(必维体育电竞4d)，

解决方案是碧威体育E-sports=7，d=7。

所以，an=biwei sports(n-1)d=7 7(n-1)=7n(nn *)。

(2)对于mN*，如果an=7n 72m，n 72m-1。

所以BM=72m-1。

所以，碧威体育电竞{bm}是第一个平等的碧威体育电竞，7比49。

因此，sm=B1(1-QM)1-q=7 (1-49m)1-49=7 (72m-1)48

=72m+1-748。

二阶差等比体育电子竞技的本质及应用

例2(1)如果已知前20项之和为100，{安}必威体育电子竞技4的最大值为()

A.25B.50C.100D .不存在

(2)在{an}中，碧威体育E-sports=-2013，前n项之和为Sn。如果S1212-S1010=2，S2013的值为()

A.-2011B。-2012C。-2010D。-2013

突破点(1)根据比威体育电子竞技的等差性质，可以得到A7比威体育电子竞技4=比威体育电子竞技A20，S20=20(比威体育电子竞技A20) 2，A7比威体育电子竞技4，然后利用基本不等式。

(2)在{an}中，Sn是前N项之和，所以Snn也成为{an}。

答案(1)A(2)D

分析(1)s20=碧威体育电竞A202 20=100，碧威体育电竞A20=10。

必维体育电子竞技A20=A7必维体育

2946;电竞4，∴a7＋必威体育电竞4＝10.

∵an>0，∴a7•必威体育电竞4≤a7＋必威体育电竞422＝25.

当且仅当a7＝必威体育电竞4时取等号．

故a7•必威体育电竞4的最大值为25.

(2)根据等差必威体育电竞的性质，得必威体育电竞Snn也是等差必威体育电竞，根据已知可得这个必威体育电竞的首项S11＝必威体育电竞＝－2013，公差d＝1，故S＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.

题型三等差、等比必威体育电竞的综合应用

例3已知必威体育电竞{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.

(1)证明：必威体育电竞{an}为等比必威体育电竞；

(2)设必威体育电竞{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求必威体育电竞{cn}的前n项和．

破题切入点(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明必威体育电竞{an}为等比必威体育电竞．

(2)由(1)的结论得出必威体育电竞{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．

(1)证明由题意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)，

∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)，

又S1＝32(必威体育电竞－1)＝必威体育电竞，解得必威体育电竞＝3，

∴必威体育电竞{an}是首项为3，公比为3的等比必威体育电竞．

(2)解由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n，

∴cn＝anbn＝n•3n，

设Tn＝1•31＋2•32＋3•33＋…＋(n－1)•3n－1＋n•3n，

3Tn＝1•32＋2•33＋3•34＋…＋(n－1)•3n＋n•3n＋1.

∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n•3n＋1

＝3(1－3n)1－3－n•3n＋1，

∴Tn＝(2n－1)3n＋1＋34.

总结提高(1)关于等差、等比必威体育电竞的基本量的运算，一般是已知必威体育电竞类型，根据条件，设出必威体育电竞，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解．

(2)等差必威体育电竞和等比必威体育电竞有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．

(3)等差、等比必威体育电竞的判断一般是利用定义，在证明等比必威体育电竞时注意证明首项必威体育电竞≠0，利用等比必威体育电竞求和时注意公比q是否为1.

1．已知{an}为等差必威体育电竞，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()

A．－110B．－90

C．90D．110

答案D

解析∵a3＝必威体育电竞＋2d＝必威体育电竞－4，a7＝必威体育电竞＋6d＝必威体育电竞－12，a9＝必威体育电竞＋8d＝必威体育电竞－16，

又∵a7是a3与a9的等比中项，

∴(必威体育电竞－12)2＝(必威体育电竞－4)•(必威体育电竞－16)，

解得必威体育电竞＝20.

∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.

2．等差必威体育电竞{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比必威体育电竞，则{an}的前n项和Sn等于()

A．n(n＋1)B．n(n－1)

C.n(n＋1)2D.n(n－1)2

答案A

解析由a2，a4，a8成等比必威体育电竞，得a24＝a2a8，

即(必威体育电竞＋6)2＝(必威体育电竞＋2)(必威体育电竞＋14)，

∴必威体育电竞＝2.

∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2

＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．

3．等比必威体育电竞{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则必威体育电竞{an}的公比q的值为()

A．－2或1B．－1或2

C．－2D．1

答案C

解析方法一若q＝1，

则S4＝4必威体育电竞，S5＝5必威体育电竞，S6＝6必威体育电竞，

显然不满足2S4＝S5＋S6，

故A、D错．

若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，

不满足条件，故B错，因此选C.

方法二经检验q＝1不适合，

则由2S4＝S5＋S6，

得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得

q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.

4．等比必威体育电竞{an}中，a4＝2，a5＝5，则必威体育电竞{lgan}的前8项和等于()

A．6B．5C．4D．3

答案C

解析必威体育电竞{lgan}的前8项和S8＝lg必威体育电竞＋lga2＋…＋lga8

＝lg(必威体育电竞•a2•…•a8)＝lg(必威体育电竞•a8)4

＝lg(a4•a5)4＝lg(2×5)4＝4.

5．设等比必威体育电竞{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于()

A．31B．32C．63D．64

答案C

解析在等比必威体育电竞{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比必威体育电竞，

故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，

则(15－3)2＝3(S6－15)，

解得S6＝63.

6．已知两个等差必威体育电竞{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()

A．2B．3C．4D．5

答案D

解析由等差必威体育电竞的前n项和及等差中项，

可得anbn＝12(必威体育电竞＋a2n－1)12(b1＋b2n－1)

＝12(2n－1)(必威体育电竞＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1

＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2

＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1(n∈N*)，

故n＝1,2,3,5,11时，anbn为整数．

即正整数n的个数是5.

7．若必威体育电竞{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.

答案(－2)n－1

解析当n＝1时，必威体育电竞＝1；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，

故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.

8．在各项均为正数的等比必威体育电竞{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．

答案4

解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

9．必威体育电竞{an}是等差必威体育电竞，若必威体育电竞＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比必威体育电竞，则q＝________.

答案1

解析设等差必威体育电竞的公差为d，

则a3＝必威体育电竞＋2d，a5＝必威体育电竞＋4d，

∴(必威体育电竞＋2d＋3)2＝(必威体育电竞＋1)(必威体育电竞＋4d＋5)，解得d＝－1，

∴q＝a3＋3必威体育电竞＋1＝必威体育电竞－2＋3必威体育电竞＋1＝1.

10．在必威体育电竞{an}中，如果对任意n∈N*都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称必威体育电竞{an}为等差比必威体育电竞，k称为公差比．现给出下列问题：

①等差比必威体育电竞的公差比一定不为零；

②等差必威体育电竞一定是等差比必威体育电竞；

③若an＝－3n＋2，则必威体育电竞{an}是等差比必威体育电竞；

④若等比必威体育电竞是等差比必威体育电竞，则其公比等于公差比．

其中正确命题的序号为________．

答案①③④

解析若k＝0，{an}为常必威体育电竞，分母无意义，①正确；公差为零的等差必威体育电竞不是等差比必威体育电竞，②错误；an＋2－an＋1an＋1－an＝3，满足定义，③正确；设an＝必威体育电竞qn－1(q≠0)，则an＋2－an＋1an＋1－an＝必威体育电竞qn＋1－必威体育电竞qn必威体育电竞qn－必威体育电竞qn－1＝q，④正确．

11．已知{an}是递增的等差必威体育电竞，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求必威体育电竞{an2n}的前n项和．

解(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，

由题意得a2＝2，a4＝3.

设必威体育电竞{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，

故d＝12，从而必威体育电竞＝32.

所以{an}的通项公式为an＝12n＋1.

(2)设{an2n}的前n项和为Sn.

由(1)知an2n＝n＋22n＋1，则

Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，

12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.

两式相减得

12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2

＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2.

所以Sn＝2－n＋42n＋1.

12．已知{an}是等差必威体育电竞，满足必威体育电竞＝3，a4＝12，必威体育电竞{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比必威体育电竞．

(1)求必威体育电竞{an}和{bn}的通项公式；

(2)求必威体育电竞{bn}的前n项和．

解(1)设等差必威体育电竞{an}的公差为d，由题意得

d＝a4－必威体育电竞3＝12－33＝3，

所以an＝必威体育电竞＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．

设等比必威体育电竞{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝b4－a4b1－必威体育电竞＝20－124－3＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝(b1－必威体育电竞)qn－1＝2n－1.

从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．

(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．

必威体育电竞{3n}的前n项和为32n(n＋1)，

必威体育电竞{2n－1}的前n项和为1－2n1－2＝2n－1.

所以，必威体育电竞{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.

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